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Descrizione Autore: Erasmo Viola
Editore: Esculapio
Data di Pubblicazione: 2023
ISBN: 9788893853767
Pagine: 440

La teoria della trave è una branca della meccanica dei solidi che si occupa dello studio del comportamento delle travi, ovvero elementi strutturali che trasmettono carichi principalmente sotto forma di sforzi di taglio e flessione. La teoria della trave si basa sull'ipotesi che la sezione trasversale di una trave rimanga piana e che le deformazioni siano trascurabili rispetto alle dimensioni della trave stessa. Grazie a questa teoria è possibile calcolare gli sforzi e le deformazioni nelle travi, e progettare strutture resistenti e sicure.
Il primo capitolo illustra l'impostazione e le ipotesi di Saint-Venant, nonché il procedimento seguito da quest'ultimo, il cosiddetto metodo del semi-inverso, per risolvere il problema dell'equilibrio elastico della trave sollecitata in corrispondenza delle basi. Le varie equazioni che governano il problema dell'equilibrio elastico vengono espresse in termini di componenti di tensione e di componenti di spostamento.
Si esamina il legame tra azione interna ed azione esterna sule basi, si definiscono i singoli casi di sollecitazione semplice e sono discusse le condizioni di vincolo, richieste per eliminare il moto rigido nelle soluzioni relative alle anzidette sollecitazioni semplici.
Nel capitolo 2 viene affrontata la risoluzione generale del problema dell'equilibrio elastico, per il cilindro di Saint-Venant, mediante procedimenti diretti di integrazione delle equazioni differenziali di equilibrio odi congruenza, adottando come funzioni incognite, nell'ordine, le componenti di spostamento o le componenti di tensione.
Per quanto concerne il metodo degli spostamenti, dalla soluzione generale vengono dedotte le soluzioni per i vari casi particolari di sollecitazione, ponendo, volta per volta, tutte le costanti uguali a zero, tranne una. Viene anche fatto cenno ad un metodo indiretto di soluzione delle equazioni differenziali del problema, sulla base di una semplice ipotesi cinematica. Alle sollecitazioni semplici di sforzo assiale e di flessione retta sono dedicati, rispettivamente, i capitoli 3 e 4 del volume. In entrambi i casi, la soluzione del problema viene ricercata prima nell'ambito del metodo delle forze, poi in quello del metodo delle deformazioni. La flessione deviata e la flessione composta sono trattate rispettivamente nei capp. 5 e 6, con l'ausilio del Principio di sovrapposizione degli effetti. Varie formule monomie sono ricavate da condizioni di equivalenza tra le caratteristiche della sollecitazione ed i sistemi di forze associate alle corrispondenti distribuzioni di tensioni.
L'analisi della sollecitazione di torsione è sviluppata nel capitolo 7 del libro. Vengono studiati il cilindro di sezione circolare e quello di sezione generica. Per quest'ultimo si introduce il concetto di centro di torsione.
La soluzione del problema analitico viene impostata, facendo ricorso alla funzione delle tensioni o di Prandtl. Si ricavano le soluzioni particolari relative alle sezioni ellittica, triangolare e rettangolare, nonché alla sezione circolare con intaglio.
Le analogie idrodinamica e della membrana che si stabiliscono con problemi fisici, vengono utilizzate per studiare le sezioni sottili aperte e bioconnesse, sollecitate a momento torcente. Sono pure trattate le sezioni connesse più di due volte.
La soluzione esatta della sollecitazione di taglio retto e flessione è riportata nel capitolo 8. Il problema è formulato in termini di tensioni, mediante l'impiego della funzione di Prandtl. La distribuzione delle tensioni è ricavata esplicitamente nel caso particolare della sezione circolare. Viene anche esposta una soluzione alternativa.
Il problema del centro di taglio, detto anche centro di flessione, è introdotto secondo le definizioni di Goodier e di Trefftz-Cicala.
Si dimostra la relazione tra le coordinate del centro di flessione e quelle del centro di torsione. Dalla relazione in narrativa appare che il centro di taglio coincide con il centro di torsione, solo quando si assume uguale a zero il coefficiente di Poisson del materiale. Adottando la definizione di centro di taglio secondo Trefftz-Cicala, che rappresenta il centro di torsione, riesce possibile disaccoppiare le energie di deformazione associate alle sollecitazioni di taglio-flessione e torsione.
Nel caso di sezioni sottili monoconnessa e biconnessa e di spessore costante, si dimostra la coincidenza tra i due centri di flessione e di torsione.
La trattazione approssimata del taglio, basata su considerazioni di puro equilibrio, poiché si rinuncia apriori alle equazioni di congruenza, occupa il capitolo 9 del libro. Per la sezione generica sono ricavate l'espressione della tensione tangenziale media, diretta ortogonalmente ad una corda, e l'espressione della componente di tensione tangenziale, diretta secondo la corda stessa. Per la sezione circolare, poi, è operato il confronto tra la soluzione approssimata e la soluzione esatta in corrispondenza della corda baricentrica. Sono introdotti i fattori di taglio e viene discussa al determinazione approssimata del centro di taglio. È da notare che, per ciascuna delle sollecitazioni semplici e composte considerate, le distribuzioni delle tensioni sono illustrate graficamente, mentre l'energia di deformazione della trave viene valutata per via esterna e per via interna. Il volume si chiude con il cap. 10, in cui si tratta l'estensione del problema di Saint-Venant. Viene introdotta la teoria tecnica della trave, che consente l'utilizzazione dei risultati del caso ideale alle travi reali e sono esaminate le relazioni tra le caratteristiche della sollecitazione ed i movimenti relativi corrispondenti, per un tronco di trave di lunghezza infinitesima. Il lavoro di deformazione viene espresso mediante le sei caratteristiche di deformazione, o le sei componenti dell'azione interna. Per la trave ad asse rettilineo è riportata anche l'espressione del lavoro di deformazione in funzione delle componenti di spostamento. Relativamente al calcolo dei parametri di spostamento sono discussi tre procedimenti, le cui dimostrazioni si basano sul Principio della forza unitaria e sui teoremi di Clapeyron e Castigliano. La risoluzione delle strutture monodimensionali iperstatiche è illustrata, in particolare, con l'ausilio del Principio dei lavori virtuali complementare, che conduce alle equazioni di congruenza di Müller-Breslau. Per l'elemento di trave spaziale, le equazioni indefinite di equilibrio, di congruenza e di legame elastico tra caratteristiche della sollecitazione e caratteristiche della deformazione, risultano espresse anche in notazione matriciale, specificando gli operatori differenziali che intervengono nelle predette equazioni e nelle combinazioni di queste.

Indice

- Il problema di Saint-Venant
- Procedimenti diretti ed indiretti di soluzione del problema di Saint-Venant
- Sforzo assiale
- Flessione retta
- Flessione deviata
- Sforzo normale eccentrico
- Torsione
- Taglio retto e flessione: soluzione esatta
- Trattazione approssimata del taglio
- Estensione del problema di Saint-Venant e teoremi energetici